Question

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-

2

，0)，(

2

，0)，離心率e=

6

3

；
（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-6）．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得c=2，e=

c

a

=

6

3

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得a=2b，且橢圓過(guò)點(diǎn)（2，-6），由此能求出橢圓方程．

解答： 解：（1）由題意可知焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意得c=2，e=

c

a

=

6

3

，
解得a=

3

，b2=3-2=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=2b，且橢圓過(guò)點(diǎn)（2，-6），
∴

4

a2

+

36

b2

=1或

36

a2

+

4

b2

=1，
解得a²=148，b²=37或a²=52，b²=13，
∴所求的橢圓方程為

x2

148

+

y2

37

=1或

y2

52

+

x2

13

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．