Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n為奇數(shù)）}\\{{a}_{n}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$，求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，求得a₂，由n＞1時，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n+1=10a_n，運用等差數(shù)列的通項公式，即可得到所求通項；
（2）求得b_n，運用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=10，a_n+1=9S_n+10，①
可得a₂=9S₁+10=9a₁+10=90+10=100，
當(dāng)n＞1時，a_n=9S_n-1+10，②
①-②可得a_n+1-a_n=9（S_n-S_n-1）=9a_n，
即為a_n+1=10a_n，
即有a_n=a₂•10^n-2=10ⁿ，
對n=1也成立．
可得a_n=10ⁿ（n∈N^*）；
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n為奇數(shù)）}\\{{a}_{n}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n為奇數(shù)）}\\{1{0}^{n}，（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$．
則數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n=（1+5+9+…+4n-3）+（10²+10⁴+…+10²ⁿ）
=$\frac{1}{2}$n（1+4n-3）+$\frac{100（1-1{00}^{n}）}{1-100}$=2n²-n+$\frac{10{0}^{n+1}-100}{99}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系：n=1時，a₁=S₁；n＞1時，a_n=S_n-S_n-1．考查數(shù)列的求和方法：分組求和，注意運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．