設(shè)f（x）是定于在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則關(guān)于函數(shù)f（x）有：
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）當x∈（0，1），函數(shù)y=
f(x)
x
+x為減函數(shù)．
上述四個命題中正確的有
（2）（3）
（2）（3）
．
分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，利用基本不等式證明；
（3）證明函數(shù)f（x）為常數(shù)即可．（4）利用（3）的結(jié)論證明（4）．
解答：解：因為對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，則
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2
f(x)
f(1-x)
?
f(1-x)
f(x)
=2，
由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2，所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2，當且僅當
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1，即f（x）=f（1-x）時取等號，所以（1）錯誤，（2）正確．
（3）將②中的變量x1，x2，交換位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，③，將②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4，
因為
f(x2)
f(x1)
+
f(x 1)
f(x2)
≥2
f(x2)
f(x1)
?
f(x 1)
f(x2)
=2，
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
?
f(1-x1)
f(1-x2)
=2，
所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x 1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4，所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x 1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4，
當且僅當，
f(x2)
f(x1)
=
f(x 1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1，取等號，所以f（x1）=f（x2），即對任意的變量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）為常數(shù)，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因為f（x）為常數(shù)，所以設(shè)f（x）=c＞0，
所以y=
f(x)
x
+x=
c
x
+x，函數(shù)的導數(shù)為y'=1-
c
x2
，當x＞0時，由y'＜0得，0＜x＜
c
，所以函數(shù)在（0，
c
）上單調(diào)遞減，所以當c＜1時，函數(shù)y=
f(x)
x
+x為減函數(shù)不一定正確．
故正確的是（2）（3）．
點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，綜合性較強，難度較大．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

同步練習冊答案