Question

平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成(n²+n+2)塊.

Answer 1

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，1條直線把平面分成2塊，又(1²+1+2)=2，故命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)命題成立，即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成 (k²+k+2)塊，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊.

因此，增加了k+1個(gè)平面塊，

所以k+1條直線把平面分成了(k²+k+2)+k+1=［(k+1)²+(k+1)+2］塊，

這說明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

由(1)(2)知，對一切n∈N^*，命題都成立.