【題目】以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<φ<π),曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線l與曲線C相交于A、B兩點,當φ變化時,求|AB|的最小值.

【答案】
(1)解:直線l的參數(shù)方程為 消去參數(shù)可得:xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;

即直線l的普通方程為xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;

曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ.可得:ρ2cos2θ=8ρsinθ.

那么:x2=8y.

∴曲線C的直角坐標方程為x2=8y


(2)解:直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標方程,可得:t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0;

設A,B兩點對應的參數(shù)為t1,t2,

,

∴|AB|=|t1﹣t2|= =

當φ= 時,|AB|取得最小值為8


【解析】(1)直接消去直線l的參數(shù)可得普通方程;根據ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2 , 進行代換即得曲線C的直角坐標方程.(2)將直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標方程;設出A,B兩點的參數(shù),利用韋達定理建立關系求解最值即可.

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