Question

炎熱的夏天，市場(chǎng)上的商販為遮擋火辣辣的太陽(yáng)，搭起了簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，利用現(xiàn)有材料做成的棚頂?shù)男螤钍沁呴L(zhǎng)分別為AC=3m，BC=4m，AB=5m的三角形，且最長(zhǎng)邊AB放在一堵南北方向的墻上，如圖所示，經(jīng)過(guò)考察，當(dāng)太陽(yáng)光線從正西方向射入且與地面成75°角時(shí)，氣溫最高，要使此時(shí)的遮陽(yáng)面積最大，應(yīng)使棚頂ABC與水平面所成的角為多少度？

Answer 1

答案：略
解析：

如圖所示，設(shè)遮陽(yáng)棚ABC所在平面α，水平面為β，棚頂AB邊放在β內(nèi)，△ABD為遮陽(yáng)棚形成的陰影，由題意有CD⊥AB，作CE⊥AB于E，連結(jié)ED，則AB⊥平面CDE， ∴∠CED為二角面α-AB-β的平面角．令∠CED=θ，∵AB⊥平面CED， ∴平面ABD⊥平面CED，則∠CDE是CD與平面β所成的角，即∠CED=75° 在△CED中，由正弦定理，得，即，又由知△ABC為直角三角形，可得， ∴，則當(dāng)θ=15°時(shí)，取最大值．即當(dāng)遮陽(yáng)棚頂與地面成15°角時(shí)，可使最熱時(shí)的遮陽(yáng)面積最大．

提示：

首先要注意這面墻的遮陽(yáng)變化面積是一個(gè)常量，因此總面積是隨遮陽(yáng)棚所遮陽(yáng)面積的變化而變化的，不妨設(shè)想把AB放到地面上來(lái)，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這種情況下遮陽(yáng)棚遮陽(yáng)面積最大問(wèn)題． 當(dāng)遮陽(yáng)面積獲得最大值時(shí)，正是遮陽(yáng)棚所在平面與太陽(yáng)光線垂直的時(shí)候．