已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時f(x)=2x-x2;
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)畫出其大致圖象并指出其單調(diào)區(qū)間.
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+k-1有三個零點,求K的取值范圍.
【答案】
分析:(1)根據(jù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),先設(shè)x<0時,則-x>0,結(jié)合題意得到f(-x)=-(-x)
2+2(-x),然后利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式.
(2)先畫出當(dāng)x≥0時,的函數(shù)圖象,結(jié)合奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱可畫出x<0時的函數(shù)圖象即可
(3)結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷
解答:(1)解:當(dāng)x<0時,則-x>0,
因為當(dāng)x≥0時,f(x)=-x
2+2x
所以f(-x)=-(-x)
2+2(-x)=-x
2-2x
又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=-x
2-2x
∴f(x)=x
2+2x,x<0
∴
…(4分)
(2)圖象如圖
其單調(diào)遞增區(qū)間[-1,1],單調(diào)遞減區(qū)間(-∞,-1),(1,+∞)…(9分)
(3)∵g(x)=f(x)+k-1有三個零點
即f(x)與y=1-k有三個交點(0,2),結(jié)合(2)中函數(shù)的圖象可得-1<1-k<1
∴0<k<2(13分)
點評:本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,及利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及方程的零點與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化