Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

+1，其中a為實數(shù)：
（Ⅰ）若 a=3，求證f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為

5

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，由f（x）=lnx-

3

x

+1，定義域為（0，+∞），x＞0，知f′(x)=

1

x

+

3

x2

，由此能夠證明f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
（Ⅱ）由f(x)=lnx-

a

x

+1，知f′(x)=

1

x

+

a

x2

，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內(nèi)，左，右分為三類來討論，函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，進而求出最值，令其等于32，求出a的值，由范圍來取舍，得出a的值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，∵f（x）=lnx-

3

x

+1，定義域為（0，+∞），x＞0，
∴f′(x)=

1

x

+

3

x2

∵x＞0，
∴f′(x)=

1

x

+

3

x2

＞0，
∴f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
（Ⅱ）∵f(x)=lnx-

a

x

+1，
∴f′(x)=

1

x

+

a

x2

，
由f′(x)=

1

x

+

a

x2

=0，得x=-a．
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，e]上單增，
f（x）最小值=f（1）=1-a=

5

2

，a=-

3

2

＜-1，不符題意，舍；
②-a≥e，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上單減，
f（x）最小值=f（e）=2-

a

e

=

5

2

，a=-

e

2

＞-e，不符題意，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，
f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+2=

5

2

，a=-e 

1

2

滿足；
綜上a=-e 

1

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，要確定函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論思想的應(yīng)用，掌握不等式恒成立時所取的條件．