Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

lnx+x2-a

，若存在b∈[1，e]，使得f（f（b））=b，則實數(shù)a的范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點，且交點的橫坐標(biāo)b∈[1，e]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，得到函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x有交點，且交點橫坐標(biāo)b∈[1，e]．由此能得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點，
且交點的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
根據(jù)

lnx+x2-a

=x，化簡整理得lnx=a
記F（x）=lnx，G（x）=a，
由題意得

F(1)≤a F(e)≥a

，即ln1≤a≤lne，
解得0≤a≤1．
即實數(shù)a的取值范圍為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評：本題給出含有根號與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點存在性定理和互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象特征等知識，屬于中檔題．