Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t為常數(shù)），且a₁=1．
（Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，求a₂和a₃；
（Ⅱ）若{a_n+1}是等比數(shù)列，求t的值；
（Ⅲ）當(dāng)t≠1時(shí)，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在遞推式中取t=2，然后依次取n=2和3即可求得a₂和a₃；
（Ⅱ）由遞推式分別求出數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，然后由等比數(shù)列{a_n+1}的前三項(xiàng)列式求解t的值；
（Ⅲ）在遞推式中取n=n+1得另一遞推式，兩式作差后構(gòu)造出等比數(shù)列{an+

1

t-1

}，求出其前n項(xiàng)和后減去

n

t-1

得答案．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，取n=2有S₂-2S₁=2，即a₁+a₂-2a₁=2，又a₁=1，得a₂=3；
取n=3時(shí)有a₁+a₂+a₃-2a₁-2a₂=3，代入a₁=1，a₂=3，得a₃=7；
（Ⅱ）由S_n-tS_n-1=n，且a₁=1，得a₂=1+t，a3=1+2t+t2，因?yàn)閧a_n+1}是等比數(shù)列，
代入(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)，得（2+t）²=2（2+2t+t²），即t=0；
（Ⅲ）由S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*）①，得
S_n+1-tS_n=n+1②
②-①得，a_n+1-ta_n=1，∵t≠1，∴an+1+

1

t-1

=t(an+

1

t-1

)．
又a1+

1

t-1

=1+

1

t-1

=

t

t-1

≠0．
∴數(shù)列{an+

1

t-1

}是以

t

t-1

為首項(xiàng)，以t為公比的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{an+

1

t-1

}的前n項(xiàng)和Tn=

t t-1 (1-tn)

1-t

=

t

(t-1)2

(tn-1)．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=Tn-

n

t-1

=

t

(t-1)2

(tn-1)-

n

t-1

=

tn+1-(n+1)t+n

(t-1)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了數(shù)列構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出新數(shù)列{an+

1

t-1

}，是中檔題．