Question

已知函數(shù)y=2

3

sin(x+

π

6

)-4sinx，求：
（1）求f（x）的最大值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合．
（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為-2sin（x-

π

3

）．令x-

π

3

=2kπ-

π

2

，解得 當(dāng)f（x）取得最大值2時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合，
令x-

π

3

=2kπ+

π

2

，解得當(dāng)f（x）取得最小值-2時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合．
（2）令x-

π

3

=kπ，解得 x=kπ+

π

3

，k∈z，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，再根據(jù)縱坐標(biāo)等于0，從而寫出對(duì)稱中心坐標(biāo)．
（3）令x-

π

3

=kπ+

π

2

，可得 x=kπ-

π

6

，k∈z，從而得到函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程．

解答：解：（1）函數(shù)y=2

3

sin(x+

π

6

)-4sinx=

3

cosx-sinx=2sin（

π

3

-x）=-2sin（x-

π

3

）．
令x-

π

3

=2kπ-

π

2

，解得 x=2kπ-

π

6

，k∈z，故當(dāng)f（x）取得最大值2時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合為{x|x=2kπ-

π

6

，k∈z }；
令x-

π

3

=2kπ+

π

2

，解得 x=2kπ+

5π

6

，k∈z，故當(dāng)f（x）取得最小值-2時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合為{x|x=2kπ+

5π

6

，k∈z }．
（2）令x-

π

3

=kπ，解得 x=kπ+

π

3

，k∈z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（=kπ+

π

3

，0），k∈z．
（3）令x-

π

3

=kπ+

π

2

，可得 x=kπ-

π

6

，k∈z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為  x=kπ-

π

6

，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．