Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點為F，不垂直于x軸且不過F點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，若∠MFN的外角平分線與直線MN交于點P，則P點的橫坐標為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運用橢圓的第二定義可得焦半徑公式，可得|MF|，|NF|，利用外角平分線性質，化簡整理計算可得結論．

解答 解：設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦點為F（1，0），
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∵F為右焦點，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴由橢圓的第二定義得到，e=$\frac{|MF|}{rzjjltl_{1}}$=$\frac{|NF|}{3fxvzn1_{2}}$，
即有|MF|=2-$\frac{1}{2}$x₁，|NF|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
設∠MFN的外角平分線與l交于點P（m，n），
∴$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\frac{|MP|}{|NP|}$，即有$\frac{{x}_{1}-m}{{x}_{2}-m}$=$\frac{2-\frac{1}{2}{x}_{1}}{2-\frac{1}{2}{x}_{2}}$，
化簡可得2（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$m（x₁-x₂），
由x₁≠x₂，可得m=4．
則P點的橫坐標為4．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的第二定義和性質，考查外角平分線性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．