Question

9．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M（x₀，y₀）是橢圓上的任一點，從原點O向圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．
（Ⅰ）若過點（0，-b），（a，0）的直線與原點的距離為$\sqrt{2}$，求橢圓方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k₁，k₂．試問k₁k₂是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用離心率公式，以及點到直線的距離公式，結(jié)合橢圓基本量的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓M相切，運用直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結(jié)合二次方程的韋達定理，再由點滿足橢圓方程，計算即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）因為離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，而c²=a²-b²，
所以$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$，即a²=2b²①
設(shè)經(jīng)過點（0，-b），（a，0）的直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$，
即bx-ay-ab=0，
因為直線與原點的距離為$\sqrt{2}$，
所以$\frac{|ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\sqrt{2}$，整理得：$\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}=2$②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=6\\{b^2}=3\end{array}\right.$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓M相切，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=\sqrt{2}$，
平方整理，可得${k_1}^2（2-{x_0}^2）+2{k_1}{x_0}{y_0}+2-{y_0}^2=0$，
${k_2}^2（2-{x_0}^2）+2{k_2}{x_0}{y_0}+2-{y_0}^2=0$，
所以k₁，k₂是方程${k^2}（2-2{x_0}^2）+2k{x_0}{y_0}+2-{y_0}^2=0$的兩個不相等的實數(shù)根，
${k_1}{k_2}=\frac{{2-{y_0}^2}}{{2-{x_0}^2}}$，
因為點R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{6}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，
即${y_0}^2=3（1-\frac{{{x_0}^2}}{6}）=3-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{2-3+\frac{1}{2}x_0^2}}{2-x_0^2}=-\frac{1}{2}$為定值．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和點到直線的距離公式，考查直線的斜率之積為定值的問題，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．