Question

F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點，斜率為1的直線l過左焦點F₁，并與橢圓交于A，B兩點
（1）求△ABF₂周長．
（2）求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，并且|AF₂|+|BF₂|=|AB|，進而得到答案．
（2）把直線AB的方程 代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出|AB|的值，利用點到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）由橢圓方程可知，a=3，
△ABF₂周長=AF₁+AF₂+BF₁+BF₂=4a=12；
（2）橢圓的左焦點為(-

5

，0)，所以直線方程為y=x+

5

，
聯(lián)立直線與橢圓方程

y=x+ 5 x2 9 + y2 4 =1

，消元得13x2+18

5

x+9=0，
則有

x1+x2= 18 5 13 x1x2= 9 13

，
|AB|=

1+K2

(x1+x2)2-4x1x2

=

48

13

，
點F2到直線AB的距離d=

10

，
所以△ABF₂的面積為

1

2

×

48

13

×

10

=

24 10

13

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義．