Question

某地汽車最大保有量為60萬輛，為了確保城市交通便捷暢通，汽車實際保有量x（單位：萬輛）應(yīng)小于60萬輛，以便留出適當(dāng)?shù)目罩昧�，已知汽車的年增長量y（單位：萬輛）和實際保有量與空置率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．
（空置量=最大保有量-實際保有量，空量率=

空置量

最大保有量

）
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求汽車年增長量y的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)汽車年增長量達(dá)到最大值時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件即可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求汽車年增長量y的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)汽車年增長量達(dá)到最大值時，滿足實際保有量x與汽車年增長量y的和小于最大保有量60時，建立不等式關(guān)系即可求k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵空量率=

空置量

最大保有量

，
∴空量率=

60-x

60

，
從而y=k•x（

60-x

60

）=

k

60

（-x²+60x），
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

60

（-x²+60x），（0＜x＜60）；
（Ⅱ）∵y=

k

60

（-x²+60x）=

k

60

[-（x-30）²+900]，（0＜x＜60）；
∴當(dāng)x=30時，函數(shù)的最大值為15k，
故汽車年增長量y的最大值為15k；
（Ⅲ）根據(jù)實際意義，實際保有量x與汽車年增長量y的和小于最大保有量60時，
即0＜x+y＜60，
則當(dāng)汽車年增長量達(dá)到最大值時，0＜x+15k＜60，
解得-2＜k＜2，
∵k＞0，∴0＜k＜2，
即k的取值范圍是（0，2）．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．