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3.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a5=2,且a3是a1與-85的等比中項,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式
(2)若a1為整數(shù),求證:ni=112Si+23in3n+3

分析 (1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式來求數(shù)列{an}的首項和公差;
(2)根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求得Sn=3n22-23n2,則2Sn+23n=3n2.即證11×3+13×22+13×32+…+13n2n3n+3即可.

解答 解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,
依題意得:{a1+4d=2a1+2d2=85a1,
解得.{a1=10d=3{a1=25d=35,
故an=-10+3(n-1)=3n-13或an=-25+35(n-1)=35n-1,
即數(shù)列{an}的通項公式為:an=3n-13或an=35n-1;
證明:(2)∵a1為整數(shù),
∴a1=-10,d=3,
∴an=3n-10,
∴Sn=n10+3n132=3n22-23n2,
則2Sn+23n=3n2
即證11×3+13×22+13×32+…+13n2n3n+3
1n21nn+1,即1n21n-1n+1,
1n213(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=13(1-1n+1)=n3n+1
ni=112Si+23in3n+3

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解,利用列項相消求和法是解決本題的關鍵.

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