Question

3．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，a₅=2，且a₃是a₁與-$\frac{8}{5}$的等比中項，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若a₁為整數(shù)，求證：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2{S}_{i}+23i}$＞$\frac{n}{3n+3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式來求數(shù)列{a_n}的首項和公差；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求得S_n=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-$\frac{23n}{2}$，則2S_n+23n=3n²．即證$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+$\frac{1}{3×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}}$＞$\frac{n}{3n+3}$即可．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=2}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}=-\frac{8}{5}{a}_{1}}\end{array}\right.$，
解得.$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-10}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{2}{5}}\\{d=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
故a_n=-10+3（n-1）=3n-13或a_n=-$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$（n-1）=$\frac{3}{5}$n-1，
即數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=3n-13或a_n=$\frac{3}{5}$n-1；
證明：（2）∵a₁為整數(shù)，
∴a₁=-10，d=3，
∴a_n=3n-10，
∴S_n=$\frac{n（-10+3n-13）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-$\frac{23n}{2}$，
則2S_n+23n=3n²．
即證$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+$\frac{1}{3×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}}$＞$\frac{n}{3n+3}$．
∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$，即$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3（n+1）}$，
即$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2{S}_{i}+23i}$＞$\frac{n}{3n+3}$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解，利用列項相消求和法是解決本題的關鍵．