Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）設(shè)b=2-a，求f（x）的零點的個數(shù)；
（2）設(shè)a＞0，且對于任意x＞0，f'（1）=0，試問lna+2b是否一定為負(fù)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的零點．
（2）由a＞0，求出函數(shù)的$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得到f（x）的唯一的極小值點，推出b=1-2a．構(gòu)造函數(shù)
g（x）=2-4x+lnx，利用導(dǎo)函數(shù)通過函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可證明lna+2b一定為負(fù)數(shù)．

解答 解：（1）∵$b=2-a，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{ax+1}）}}{x}$．
若a≥0，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)；
①0≤a＜4（1+ln2）時，無零點； ②a=4（1+ln2）時有一個零點； ③a＞4（1+ln2）時有兩個零點．
若a＜0時，
①-2＜a＜0，（0，$\frac{1}{2}$）函數(shù)是減函數(shù)，（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）函數(shù)是增函數(shù)，（-$\frac{1}{a}$，+∞）函數(shù)是減函數(shù)，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{a}{4}$+1+ln2＞0，只有一個零點；
②a=-2，（0，+∞）是減函數(shù)只有一個零點；
③a＜-2，（0，$-\frac{1}{a}$）函數(shù)是減函數(shù)，（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）函數(shù)是增函數(shù)，（$\frac{1}{2}$，+∞）函數(shù)是減函數(shù)，f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$+1+ln（-a）＞0，只有一個零點；
綜上得：0≤a＜4（1+ln2）時，無零點；a＜0或a=4（1+ln2）時有一個零點； a＞4（1+ln2）時有兩個零點．
（2）由a＞0，且對于任意x＞0，f'（1）=0．
由$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$是f（x）的唯一的極小值點，
故$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}=1$，整理得2a+b=1，即b=1-2a．
令g（x）=2-4x+lnx，則$g'（x）=\frac{1-4x}{x}$，
令g'（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{4}$時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增； 
當(dāng)$x＞\frac{1}{4}$時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞淢，
因此$g（x）≤g（{\frac{1}{4}}）=1+ln\frac{1}{4}=1-ln4＜0$，
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna+2b一定為負(fù)數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力、