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9.已知函數(shù)y=f(x),x∈D,如果對于定義域D內的任意實數(shù)x,對于給定的非零常數(shù)m,總存在非零常數(shù)T,恒有f(x+T)>mf(x)成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的m級類增周期函數(shù),周期為T,若恒有f(x+T)=mf(x)成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的m級類周期函數(shù),周期為T.
(1)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax是[3,+∞)上的周期為1的2級類增周期函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知T=1,y=f(x)是[0,+∞)上的m級類周期函數(shù),且y=f(x)是[0,+∞)上的單調增函數(shù),當x∈[0,1)時,f(x)=2x,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據題意-(x+1)2+a(x+1)>2(-2+ax)對一切[3,+∞)恒成立,轉化為a<x22x1x1=x122x1=(x-1)-2x1,利用基本不等式求解即可.
(2)分類討論f得出f(x)在[0,+∞)上單調遞增,m>0且mn•2n-n>mn-1•2n-(n-1),即m≥2.

解答 解:(1)由題意可知:f(x+1)>2f(x),
即-(x+1)2+a(x+1)>2(-2+ax)對一切[3,+∞)恒成立,
(x-1)a<x2-2x-1,
∵x∈[3,+∞)
∴a<x22x1x1=x122x1=(x-1)-2x1,
令x-1=t,則t∈[2,+∞),
g(x)=t-2t 在[2,+∞)上單調遞增,
∴g(t)min=g(2)=1,
∴a<1.
(2)∵x∈[0,1)時,f(x)=2x,
∴當x∈[1,2)時,f(x)=mf(x-1)=m•2x-1,
當x∈[n,n+1]時,f(x)=mf(x-1)=m2f(x-2)=…=mnf(x-n)=mn•2x-n,
即x∈[n,n+1)時,f(x)=mn•2x-n,n∈N*,
∵f(x)在[0,+∞)上單調遞增,
∴m>0且mn•2n-n>mn-1•2n-(n-1),即m≥2.

點評 本題綜合考查了函數(shù)的性質,推理變形能力,分類討論的思想,屬于難題

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