分析 (1)根據題意-(x+1)2+a(x+1)>2(-2+ax)對一切[3,+∞)恒成立,轉化為a<x2−2x−1x−1=(x−1)2−2x−1=(x-1)-2x−1,利用基本不等式求解即可.
(2)分類討論f得出f(x)在[0,+∞)上單調遞增,m>0且mn•2n-n>mn-1•2n-(n-1),即m≥2.
解答 解:(1)由題意可知:f(x+1)>2f(x),
即-(x+1)2+a(x+1)>2(-2+ax)對一切[3,+∞)恒成立,
(x-1)a<x2-2x-1,
∵x∈[3,+∞)
∴a<x2−2x−1x−1=(x−1)2−2x−1=(x-1)-2x−1,
令x-1=t,則t∈[2,+∞),
g(x)=t-2t 在[2,+∞)上單調遞增,
∴g(t)min=g(2)=1,
∴a<1.
(2)∵x∈[0,1)時,f(x)=2x,
∴當x∈[1,2)時,f(x)=mf(x-1)=m•2x-1,
當x∈[n,n+1]時,f(x)=mf(x-1)=m2f(x-2)=…=mnf(x-n)=mn•2x-n,
即x∈[n,n+1)時,f(x)=mn•2x-n,n∈N*,
∵f(x)在[0,+∞)上單調遞增,
∴m>0且mn•2n-n>mn-1•2n-(n-1),即m≥2.
點評 本題綜合考查了函數(shù)的性質,推理變形能力,分類討論的思想,屬于難題
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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