Question

存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是        。

Answer 1

本題利用純代數(shù)討論是很繁瑣的，要用數(shù)形結(jié)合．原不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，分別畫(huà)出函數(shù)y₁=|x-t|，y₂=2-x²，這個(gè)很明確，是一個(gè)開(kāi)口向下，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，最大值為2的拋物線(xiàn)；要存在x＜0使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應(yīng)該在第二象限（x＜0）和y₂的圖象有交點(diǎn)，再分兩種臨界講座情況，當(dāng)t≤0時(shí)，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切；當(dāng)t＞0時(shí)，要使y₁和y₂在第二象限有交點(diǎn)，最后綜上得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解：不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，
令y₁=|x-t|，y₁的圖象是關(guān)于x=t對(duì)稱(chēng)的一個(gè)V字形圖形，其象位于第一、二象限；

y₂=2-x²，是一個(gè)開(kāi)口向下，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，最大值為2的拋物線(xiàn)；
要存在x＜0，使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應(yīng)該在第二象限和y₂的圖象有交點(diǎn)，兩種臨界情況，①當(dāng)t≤0時(shí)，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切：
y₁的右半部分即y₁=x-t，
聯(lián)列方程y=x-t，y=2-x²，只有一個(gè)解；
即x-t=2-x²，即x²+x-t-2=0，△=1+4t+8=0，得：t=-；
此時(shí)y₁恒大于等于y₂，所以t=-取不到；
所以-＜t≤0；
②當(dāng)t＞0時(shí)，要使y₁和y₂在第二象限有交點(diǎn)，
即y₁的左半部分和y₂的交點(diǎn)的位于第二象限；
無(wú)需聯(lián)列方程，只要y₁與y軸的交點(diǎn)小于2即可；
y₁=t-x與y軸的交點(diǎn)為（0，t），所以t＜2，
又因?yàn)閠＞0，所以0＜t＜2；
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是：-＜t＜2；
故答案為：（-，2）．