Question

已知橢圓C₁：

x2

16

+

y2

12

=1，雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點(diǎn)，且離心率互為倒數(shù)．
①求雙曲線C₂的方程；
②圓C：x²+y²=r²（r＞0）與兩曲線C₁、C₂交點(diǎn)一共有且僅有四個(gè)，求r的取值范圍；是否存在r，使得順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形？

Answer 1

分析：①依題意，設(shè)雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點(diǎn)，且離心率互為倒數(shù)，知

c=2 c a =2

，由此可求出雙曲線C₂的方程．
②橢圓C₁的頂點(diǎn)為A（±4，0）、B(0，±2

3

)，雙曲線C₂的頂點(diǎn)為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點(diǎn)為N（±2，±3），|ON|=

13

．所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，再運(yùn)用曲線的對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化從而簡(jiǎn)化計(jì)算．

解答：解：①依題意，設(shè)雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
橢圓C₁的離心率為

2

4

=

1

2

，焦點(diǎn)為F（±2，0），
所以

c=2 c a =2

，
解得a=1，c=2，b=

c2-a2

=

3

．
②橢圓C₁的頂點(diǎn)為A（±4，0）、B(0，±2

3

)，雙曲線C₂的頂點(diǎn)為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點(diǎn)為N（±2，±3），|ON|=

13

．
所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)1＜r＜2

3

或r=

13

或r＞4．
直線y=±x與橢圓C₁的交點(diǎn)為P(±

4 3

7

，±

4 3

7

)，|OP|=

4 6

7

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">2

3

＜

4 6

7

＜4，且

4 6

7

≠

13

，
所以，以O(shè)為圓心、|OP|為半徑的圓與兩曲線C₁、C₂的交點(diǎn)不只四個(gè)，不合要求．
直線y=±x與雙曲線C₂的交點(diǎn)為Q(±

3

2

，±

3

2

)，|OQ|=

3

，1＜

3

＜2

3

，符合要求，
即r=

3

時(shí)，交點(diǎn)有且僅有四個(gè)，順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓、雙曲線與圓的綜合，解題要求先用待定系數(shù)法求軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合討論曲線的幾何性質(zhì)，第②問(wèn)關(guān)鍵是運(yùn)用曲線的對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化從而簡(jiǎn)化計(jì)算．另外，圓錐曲線的一些數(shù)量關(guān)系常用向量表示：設(shè)橢圓C₁的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=

1

4

|

F1F2

•

OP

|2-7，則動(dòng)點(diǎn)軌跡也是曲線C₂．