Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，E是AB的中點(diǎn)，PC與平面ABCD所成角為30°．
（1）求二面角P-CE-D的大小；
（2）當(dāng)AD為多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)D到平面PCE的距離為2．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，BC的中點(diǎn)為F，以O(shè)為原點(diǎn)，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為．則二面角P-CE-D的大小即為此法向量與的夾角的大小．
（2）D（a，0，0），則，則點(diǎn)D到平面PCE的距離，d=2，則，AD=．
解答：解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，BC的中點(diǎn)為F，以O(shè)為原點(diǎn)，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）連接OC，則∠PCO為PC與面AC所成的角，∠PCO=30°，
設(shè)AD=2a，則，
故，
則，，，
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為．
則得，
又平面DCE的一個(gè)法向量），，
故二面角P-CE-D為（8分）
（2）D（a，0，0），則，
則點(diǎn)D到平面PCE的距離
d=2，則，AD=（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．