Question

3．圓M：x²+y²-2y=24，直線l：x+y=11，l上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)為B，C．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求直線l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)A，使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-2？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）求證當(dāng)點(diǎn)A在直線l運(yùn)動時，直線BC過定點(diǎn)P₀．
（附加題）問：第（Ⅲ）問的逆命題是否成立？

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，可直接求出斜率；
（2）當(dāng)l₁⊥l₂時，四邊形MCAB為正方形，求出a的值；設(shè)$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=2θ，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|AB|²（1-2sin²θ），故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（AM²-25）（1-$\frac{50}{A{M}^{2}}$）=AM²+$\frac{25×50}{2A{M}^{2}}$-75，又圓心M到直線l的距離是$5\sqrt{2}$∴AM²≥50，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥50+$\frac{25×50}{50}$-75=0，故點(diǎn)A不存在．
（3）利用兩圓方程相減，求出公共弦直線方程，找出定點(diǎn)．

解答 解：（1）圓M：x²+（y-1）²=25，圓心M（0，1），半徑r=5，A（0，11），
設(shè)切線的方程為y=k x+11，圓心距d=$\frac{10}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
∴k=±$\sqrt{3}$，所求直線l₁，l₂的方程為y=±$\sqrt{3}$x+11
（2）當(dāng)l₁⊥l₂時，四邊形MCAB為正方形，
∴|AM|+$\sqrt{2}$|MB|=5$\sqrt{2}$
設(shè)A（a，11-a），M（0，1）則 $\sqrt{{a}^{2}+（10-a）^{2}}$=$5\sqrt{2}$
a²-10a+25=0∴a=5
設(shè)$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=2θ，則
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|AB|²（1-2sin²θ），
又sinθ=$\frac{r}{|AM|}$，故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（AM²-25）（1-$\frac{50}{A{M}^{2}}$）=AM²+$\frac{25×50}{2A{M}^{2}}$-75，
又圓心M到直線l的距離是$5\sqrt{2}$  
∴AM²≥50，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥50+$\frac{25×50}{50}$-75=0，故點(diǎn)A不存在．
（3）設(shè)A（a，b），則a+b=1   ①；
已AM為直徑的圓與圓M交于B，C，AB，AC為切線；
以AM為直徑的圓方程為：x（x-a）+（y-1）（y-b）=0  ②
圓M：x²+y²-2y=24   ③，
兩式②③相減得公共弦BC方程：24+2y-ax-（b+1）y+b=0，代入①化簡：
y-$\frac{7}{2}$=-$\frac{a}{10-a}$（x-$\frac{5}{2}$），故知P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$）．
附加題：
首先：第（III）的逆命題是：過定點(diǎn)P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$）的直線交圓x²+y²-2y=24 于B．C兩點(diǎn)，分別以B，C為切點(diǎn)作圓M的切線l₁，l₂ 相交于A點(diǎn)，則A在x+y=11上．
證明：設(shè)A（a，b），已AM為直徑的圓與圓M交于B，C，易證AB，AC為切線；
以AM為直徑的圓方程為：x（x-a）+（y-1）（y-b）=0 
圓M：x²+y²-2y=24，
兩式相減得公共弦BC方程：24+2y-ax-（b+1）y+b=0，
由于公共弦BC所在直線過定點(diǎn)P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），代入可得a+b=11，得證．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式，直線方程，圓綜合以及存在性證明問題，屬難題．