Question

已知sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）．則cos（α+2β）的值為

-

11 5

25

．

Answer 1

分析：根據(jù)β的范圍求出β-

π

4

的范圍，由sin（β-

π

4

）的值利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系求出cos（β-

π

4

）的值，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的關(guān)系分別
求出sin2β和cos2β的值，根據(jù)sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），分別求出sinα和cosα的值，再利用利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求得結(jié)果．

解答：解：∵β∈（

π

4

，

π

2

），β-

π

4

（0，

π

4

），∴cos（β-

π

4

）=

4

5

，于是sin2（β-

π

4

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

）=

24

25

．
又sin2（β-

π

4

）=-cos2β，∴cos2β=-

24

25

．
又2β∈（

π

2

，π），∴sin2β=

7

25

．
由sin α+cos α=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），以及cos²α+sin²α=1，可得cosα=

2

5

，sinα=

1

5

．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=

2 5

5

×

-24

25

-

5

5

×

7

25

=-

11 5

25

，
故答案為-

11 5

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題，做題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意角度的范圍，屬于中檔題．