【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
【答案】解:(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>0,
當(dāng)n=1時,x1=1>0,成立,
假設(shè)當(dāng)n=k時成立,則xk>0,
那么n=k+1時,若xk+1<0,則0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)<0,矛盾,
故xn+1>0,
因此xn>0,(n∈N*)
∴xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1 ,
因此0<xn+1<xn(n∈N*),
(Ⅱ)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1),
記函數(shù)f(x)=x2﹣2x+(x+2)ln(1+x),x≥0
∴f′(x)= +ln(1+x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)≥f(0)=0,
因此xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)≥0,
故2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ)∵xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1 ,
∴xn≥ ,
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,
∴ ﹣ ≥2( ﹣ )≥…≥2n﹣1( ﹣ )=2n﹣2 ,
∴xn≤ ,
綜上所述 ≤xn≤ .
【解析】(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法即可證明,
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,即可證明,
(Ⅲ)由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,繼續(xù)放縮即可證明
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥| +a|在R上恒成立,則a的取值范圍是( )
A.[﹣ ,2]
B.[﹣ , ]
C.[﹣2 ,2]
D.[﹣2 , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,AB=2,由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)C1的最短路線與棱的交點(diǎn)記為M,求:
(Ⅰ)三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長.
(Ⅱ)該最短路線的長及的值.
(Ⅲ)平面與平面ABC所成二面角(銳二面角)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點(diǎn)E在線段AB上.過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點(diǎn)A與P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求證:EF⊥PB.
(2)試問:當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動時,二面角PFCB的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為 ,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1 , 過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2 .
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l1 , l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn), 為中點(diǎn), 的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓的動弦,且其斜率為1,問橢圓上是否存在定點(diǎn),使得直線的斜率滿足?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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