Question

定義，max{m，n}=

m，m≥n n，m＜n

，已知函數f（x）=max{x²-2x，2a-2x}，a∈R
（1）當a=1時，直接寫出函數f（x）的單調區(qū)間，并求出函數f（x）的最小值
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，化簡f（x）=max{x²-2x，2-2x}=

x2-2x，x≤- 2 2-2x，- 2 ＜x＜ 2 x2-2x，x≥ 2

，從而寫出單調區(qū)間及最小值；
（2）令x²-2x=2a-2x得x²=2a；故當a=0時，方程僅有一個解；從而討論確定函數的值域．

解答： 解：（1）當a=1時，
f（x）=max{x²-2x，2-2x}=

x2-2x，x≤- 2 2-2x，- 2 ＜x＜ 2 x2-2x，x≥ 2

，
故函數f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，

2

），
單調增區(qū)間為（

2

，+∞）；
其最小值為f（

2

）=2-2

2

；
（2）令x²-2x=2a-2x得x²=2a；
故當a=0時，方程僅有一個解；
故當a≤0時，f（x）=max{x²-2x，2-2x}
=x²-2x=（x-1）²-1；
故函數f（x）的值域為[-1，+∞）；
當a＞0時，令x²=2a解得，
x=-

2a

或x=

2a

；
故函數f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，

2a

），
單調增區(qū)間為（

2a

，+∞）；
故f（x）≥f（

2a

）=2a-2

2a

；
故f（x）的值域為[2a-2

2a

，+∞）．

點評：本題考查了分段函數的應用及分類討論的應用，同時考查了數形結合的應用，屬于中檔題．