Question

10．如圖，在六面體ABCDEFG中，△ABC是邊長為4正三角形，AE∥CD，AE⊥平面ABC，AE⊥平面DEFG，AE=CD=3，DG=EF=2．
（1）求該六面體的體積；
（2）求平面ACDE與平面BFG所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據條件構造正三棱柱ABC-EDH，利用割補法進行求解即可．
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的大�。�

解答 解：（1）∵△ABC是邊長為4正三角形，AE∥CD，AE⊥平面ABC，AE⊥平面DEFG，
∴構造正三棱柱ABC-EDH，
∵DG=EF=2．
∴F，G是EH，DH的中點，
則FG是△EDH的中位線，
∵△ABC是邊長為4正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×$4×$4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，S_△FGH=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}×4\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
則三棱柱的體積為V=S_△ABC•AE=3×4$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$，
三棱錐B-FGH的體積V_B-EFG=$\frac{1}{3}$S_△FGB•BH=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×3=$\sqrt{3}$，
則六面體的體積V=V-V_B-EFG=12$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=11$\sqrt{3}$．
（2）取AC的中點O，建立以O為坐標原點，OB，OC，OG分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則OA=OC=2，OB=2$\sqrt{3}$，
則B（2$\sqrt{3}$，0，0），H（2$\sqrt{3}$，O，3），E（0，-2，3），D（0，2，3），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，-1，3），G（$\sqrt{3}$，1，3），
設平面BFG的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{FG}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BG}$=（-$\sqrt{3}$，1，3），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{FG}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BG}$=-$\sqrt{3}$x+y+3z=0，
得y=0，令x=$\sqrt{3}$，z=-1，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
平面ACDE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}×1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{π}{6}$，
即平面ACDE與平面BFG所成的銳二面角的大小為$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查空間幾何體的體積的計算以及二面角的求解，根據條件利用割補法以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解決本題的關鍵．