Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}}$）-cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用降冪公式及輔助角公式化簡．
（1）由周期公式求得周期，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最值．

解答 解：f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}}$）-cos²x=$\frac{1+cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}-\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3}}{2}-\frac{cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
（1）由T=$\frac{2π}{2}=π$，得函數(shù)的最小正周期為π．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{4}$，得$-\frac{2π}{3}≤2x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，則$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）∈$[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．
即f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}}$]上的最大值和最小值分別為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．