Question

定義在（-∞，4]上的減函數(shù)f（x），使得f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)m的范圍

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件定義在（-∞，4]上的減函數(shù)f（x），首先都要滿(mǎn)足定義域小于等于4，然后根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求出m的范圍；

解答：解：∵減函數(shù)f（x）定義在（-∞，4]上，∴m-sinx≤4…①，

1+2m

-

7

4

+cos2x≤4…②，
∵1+2m≥0，∴m≥-

1

2

；
∵f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
∴m-sinx≥

1+2m

-

7

4

+cos2x…③，（m≥-

1

2

）
解①得，m≤4+sinx，∵-1≤sinx≤1，∴m≤3；
解②得，

1+2m

≤

23

4

-cos2x，∴

1+2m

≤

19

4

，解得m≤

345

32

，
解③得，m-

1+2m

+

3

4

≥-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，
∴（sinx-

1

2

）²≥

1+2m

-m-

1

2

，∵-1≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)（sinx-

1

2

）²取最小值為0，
∴0≥

1+2m

-m-

1

2

，解得m≥

3

2

或m=-

1

2

，
由①②③綜合得：

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

；
故答案為：

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)的性質(zhì)，思路很簡(jiǎn)單但是計(jì)算很復(fù)雜，考查學(xué)生的計(jì)算能力，這一點(diǎn)在高考中均有體現(xiàn)，此題易錯(cuò)點(diǎn)忽視了定義域，1+2m≥0，這個(gè)條件不要忘記了；