Question

一個(gè)正方體形狀的無(wú)蓋鐵桶ABCD-A₁B₁C₁D₁的容積是V，里面裝有體積為

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3

V的水，放在水平的地面上（如圖所示）．現(xiàn)以頂點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，將鐵桶傾斜，當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點(diǎn)A₁處流出時(shí)，棱AA₁與地面所成角的余弦值為

 

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Answer 1

分析：由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的容積是V，里面裝有體積為

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V的水，若以頂點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，將鐵桶傾斜，當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點(diǎn)A₁處流出時(shí)，由等體積法，可得此時(shí)液面即為平面A₁FH，建立空間坐標(biāo)系，分別求出棱AA₁的方向向量和平面A₁FH的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．

解答：解：設(shè)初如狀態(tài)下，液面與四條側(cè)棱分別交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如下圖示：
根據(jù)等體積法，以頂點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，將鐵桶傾斜，當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點(diǎn)A₁處流出時(shí)，
液面依然經(jīng)過(guò)F，H點(diǎn)，則棱AA₁與地面所成角θ即為棱AA₁與平面A₁FH的夾角
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AA₁方向分別為x，y，z軸正方向，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3，
則

AA1

=（0，0，3），

A1F

=（3，0，-1），

A1H

=（0，3，-1）
設(shè)平面A₁FH的法向量

m

=（x，y，z），
則

3x-z=0 3y-z=0

則

m

=（1，1，3）
則sinθ=|

AA1 • m

|AA1 |•| m |

|=

3 11

11

則cosθ=

1-sin2θ

=

22

11

故答案為：

22

11

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面的夾角，其中根據(jù)等體積法，得到滿(mǎn)足條件時(shí)，液面依然經(jīng)過(guò)F，H點(diǎn)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為棱AA₁與平面A₁FH的夾角，是解答本題的關(guān)鍵．