Question

對稱問題
①點關于點對稱，如（x₀，y₀）關于（a，b）對稱點為

 

．
②點關于線對稱，如（1，2）關于y=3x對稱點為

 

．特別地，（x₀，y₀）關于直線y=x對稱的點為

 

，（x₀，y₀）關于直線y=-x對稱的點為

 

．
③線關于點對稱：如直線A_x+B_y+C=0關于點（x₀，y₀）對稱的直線為

 

．
④線關于線對稱：如：直線Ax+By+C=0關于直線y=x對稱的直線方程為

 

；直線Ax+By+C=0關于直線y=-x對稱的直線方程為

 

．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系（即中心對稱與軸對稱的性質(zhì)）即可得出．

解答： 解：①設（x₀，y₀）關于（a，b）對稱點為（x，y），則

a= x+x0 2 b= y+y0 2

，解得x=2a-x₀，y=2b-y₀，∴（x₀，y₀）關于（a，b）對稱點為（2a-x₀，2b-y₀）．
②設（1，2）關于y=3x對稱點為（x，y），則

y-2 x-1 ×3=-1 y+2 2 =3× 1+x 2

，解得x=

2

5

，y=

11

5

，因此其對稱點為(

2

5

，

11

5

)．同理可得特別地，（x₀，y₀）關于直線y=x對稱的點為（y₀，x₀），（x₀，y₀）關于直線y=-x對稱的點為 （-y₀，-x₀）．
③設點P（x，y）關于點（x₀，y₀）對稱的點在直線Ax+By+C=0上，則A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，即為直線Ax+By+C=0關于點（x₀，y₀）對稱的直線．
④設要求的直線上任意一點為P（x，y），由于P（x，y）關于直線y=x對稱的點（y，x），∴直線Ax+By+C=0關于直線y=x對稱的直線方程為Ay+Bx+C=0，
同理可得直線Ax+By+C=0關于直線y=-x對稱的直線方程為-Ay-Bx+C=0．
故答案分別為：①（2a-x₀，2b-y₀），②(

2

5

，

11

5

)，（y₀，x₀），（-y₀，-x₀），③A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，④Ay+Bx+C=0，-Ay-Bx+C=0．

點評：本題考查了中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、中心對稱與軸對稱的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．