設(shè)t>0,已知函數(shù)f (x)=x2(x-t)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率為k,當(dāng)x∈(0,1]時,k≥-恒成立,求t的最大值;
(3)有一條平行于x軸的直線l恰好與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)C,D,若四邊形ABCD為菱形,求t的值.
【答案】分析:(1)由導(dǎo)數(shù)大于0可求單調(diào)遞增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0可求單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(0,1]時,k≥-恒成立,轉(zhuǎn)化為即t≤,x∈(0,1]只需求其最小值;
(3)由題意畫出圖象,用距離相等可求t的值.
解答:解:(1)∵函數(shù)f (x)=x2(x-t)=x3-tx2,∴f′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)
令x(3x-2t)<0,解得0<x<,(t>0);令x(3x-2t)>0,解得x<0,或x>,
故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,);單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(,+∞).
(2)由題意及(1)知,k=f′(x)=3x2-2tx,x∈(0,1],k≥-恒成立
即當(dāng)x∈(0,1]時,3x2-2tx≥-恒成立,即t≤,x∈(0,1]
即函數(shù)g(x)=,x∈(0,1]只需求出其最小值即可,
g(x)==≥2=,當(dāng)且僅當(dāng),
即x=∈(0,1]時,取到等號,故可得t≤
故t的最大值為:
(3)由以上可知f(x)的圖由f()=-即C(,)B(t,0)
由于四邊形ABCD為菱形,故|AB|=|BC|即t=解得t=
故t的值為:
點(diǎn)評:本題為導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,設(shè)計單調(diào)區(qū)間的求解,恒成立問題以及由性質(zhì)畫圖象,屬中檔題.
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恒成立,求t的最大值;
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