Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，求A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：設(shè)BD與AC 的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，

∵ABCD是矩形，

∴O為BD的中點(diǎn)

∵E為PD的中點(diǎn)，

∴EO∥PB．

EO平面AEC，PB平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）

解：∵AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，

∴V= = ，

∴AB= ，PB= = ．

作AH⊥PB交PB于H，

由題意可知BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AH，

故AH⊥平面PBC．

又在三角形PAB中，由射影定理可得：

A到平面PBC的距離 ．

【解析】（1）設(shè)BD與AC 的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，通過直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面AEC；（2）通過AP=1，AD= ，三棱錐P﹣ABD的體積V= ，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，說明AH就是A到平面PBC的距離．通過解三角形求解即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．