Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx為奇函數(shù)，且在x=4處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-5，6]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，根據(jù)f′（4）=0，求出b的值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴a=0，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+bx$
∴f'（x）=x²+b，
由題意得：f'（4）=16+b=0，
∴b=-16；
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-16x$
∴f'（x）=x²-16

x	-5	（-5，-4）	-4	（-4，4）	4	（4，6）	$y=（{2-\frac{2}{e-1}}）x-2-2ln（e-1）$
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	$\frac{115}{3}$	單調(diào)遞增	$\frac{128}{3}$	單調(diào)遞減	$-\frac{128}{3}$	單調(diào)遞增	-24

∴$f{（x）_{max}}=f（-4）=\frac{128}{3}$，$f{（x）_{min}}=f（4）=-\frac{128}{3}$，
所以，f（x）的值域為$[{-\frac{128}{3}，\frac{128}{3}}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．