Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為

1

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在動(dòng)點(diǎn)M的曲線上．求|PO|²+|PA|²的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），由已知條件得

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（Ⅱ）由題意知|PO|²+|PA|²=x²+y²+（x-3）²+y²，由此能求出|PO|²+|PA|²的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化簡(jiǎn)，得（x+1）²+y²=4．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是（x+1）²+y²=4．
（Ⅱ）∵點(diǎn)P在動(dòng)點(diǎn)M的曲線上．
∴|PO|²+|PA|²=x²+y²+（x-3）²+y²
=-10x+15，
∵-3≤x≤1，
∴5≤-10x+15≤45，
∴|PO|²+|PA|²的取值范圍是[5，45]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩線段平方和的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．