如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點.
(1)求證:面EFG⊥面PAB;
(2)求異面直線EG與BD所成的角;
(3)求點A到面EFG的距離.
分析:解法一(1)由已知中ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,可得AD⊥AB,AD⊥PA,進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AD⊥面PAB,結(jié)合E、F分別是線段PA、PD的中點及三角形中位線定理可得EF/AD,結(jié)合線面垂直的第二判定定理可得EF⊥面PAB,再由面面垂直的判定定理得到面EFG⊥面PAB;
(2)取BC的中點M,連接GM、AM、EM,由異面直線夾角的定義可得∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角,解△MAE可得答案.
(3)取AB中點H,連接GH,HE,過點A作AT⊥HE于T,則AT就是點A到平面EFG的距離,解Rt△AEH,即可得到點A到面EFG的距離.
解法二:(1)以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,分別求出向量
EF
AP
AB
的坐標(biāo),根據(jù)兩個向量數(shù)量積為0,向量垂直,易判斷出EF⊥AP,EF⊥AB,結(jié)合線面垂直的判定定理得到答案.
(2)分別求出向量
EG
BD
的方向向量,代入向量夾角公式,即可得到答案.
(3)求出平面EFC的法向量
n
,及向量
AE
的坐標(biāo),代入點A到平面EFG的距離公式d=|
AE
n
|
n
|
|
,可得答案.
解答:解法一(1)證明:∵ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,
且PA=AD=2,∴AD⊥AB,AD⊥PA
又AB∩PA=A,∴AD⊥面PAB.…(1分)
∵E、F分別是線段PA、PD的中點,
∴EF/AD,∴EF⊥面PAB.…(2分)
又EF?面EFG,∴面EFG⊥面PAB.…(3分)
(2)解:取BC的中點M,連接GM、AM、EM,則GM∥BD,
∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角.(4分)
在Rt△MAE中,EM=
EA2+AM2
=
6
,
同理EG=
6
,…(5分)
GM=
1
2
BD=
2
,∴在△MGE中,cos∠EGM=
EG2+GM2-ME2
2EG•GM
=
6+2-6
2
6
2
=
3
6
…(6分)
故異面直線EG與BD所成的角為arccos
3
6
,…(7分)
(3)解:取AB中點H,連接GH,HE,則GH∥AD∥EF,
∴E、F、G、H四點共面,過點A作AT⊥HE于T,
∵面EFGH⊥面PAB,∴AT⊥平面EFGH,…(9分)
∴AT就是點A到平面EFG的距離.…(10分)
在Rt△AEH中,AE=AH=1,
AT=
AE•AH
EH
=
1×1
2
=
2
2

故點A到平面EFG的距離為
2
2
.…(12分)
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0).
(1)證明:∵
EF
=(0,1,0),
AP
=(0,0,2),
AB
=(2,0,0),
EF
AP
=0×0+1×0+0×2=0,
EF
AB
=0×2+1×0+0×0=0,
∴EF⊥AP,EF⊥AB.…(1分)
又∵AP、AB?面PAB,且PA∩AB=A,
∴EF⊥平面PAB.…(2分)
又EF?面EFG,∴平面EFG⊥平面PAB.…(3分)
(2)解:∵
EG
=(1,2,-1),
BD
=(-2,2,0)
,…(4分)
cos<
EG
BD
>=
EG
BD
|
EG
|•|
BD
|
=
-2+4
6
•2
2
=
3
6
,…(6分)
故異面直線EG與BD所成的角為arcos
3
6
.…(7分)
(3)解:設(shè)平面EFC的法向量
n
=(x,y,z),…(8分)
n
EF
=(x,y,z)•(0,1,0)=0
n
EG
=(x,y,z)•(1,2,-1)=0
y=0
x+2y-z=0
…(10分)
令z=0,得
n
=(1,0,1).…(11分)
AE
=(0,0,1),∴點A到平面EFG的距離d=|
AE
n
|
n
|
|=|
1
2
|=
2
2
.…(12分)
點評:本題考查的知識點是向量語言表述直線的垂直關(guān)系,點到平面的距離運算,用空間向量求直線間的夾角,其中解法一(幾何法)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定、性質(zhì)及相互轉(zhuǎn)換;解法二(向量法)的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,將空間線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、N、D三點的平面交PC于M.
(1)求證:DP∥平面ANC;
(2)求證:M是PC中點;
(3)求證:平面PBC⊥平面ADMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、N、D三點的平面交PC于M.
(Ⅰ)求證:AD∥MN;
(Ⅱ)求證:平面PBC⊥平面ADMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為4的菱形,且∠BAD=60°,N是PB的中點,過A,D,N的平面交PC于M,E是AD的中點.
(1)求證:BC⊥平面PEB;
(2)求證:M為PC的中點;
(3)求四棱錐M-DEBC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為4的菱形,且∠BAD=60°,N是PB的中點,過A,D,N的平面交PC于M,E是AD的中點.
(1)求證:BC⊥平面PEB;
(2)求證:M為PC的中點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖22,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、D、N三點的平面交PC于M,E為AD的中點.

圖22

(1)求證:EN∥平面PCD;

(2)求證:平面PBC⊥平面ADMN;

(3)求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.

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