Question

10．已知f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$（a，b為常數(shù)）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，結(jié)合f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，可求出a，b值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明，設在（-1，1）上任取兩個數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$（a，b為常數(shù)）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a+b}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{1}{2}$a+b=1，①，
f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{-\frac{1}{2}a+b}{1+\frac{1}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，即-$\frac{1}{2}$a+b=-1，②，
由①②解得：a=2，b=0，
故f（x）=$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$；
（2）任取任取兩個數(shù)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2x}_{1}}{1{{+x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{2x}_{2}}{1{{+x}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{-x}_{1}{•x}_{2}）}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$＜0
因為x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，1-x₁•x₂＞0
則f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明，解題的關(guān)鍵是化簡判定符號，同時考查了運算求解的能力．