Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)上的點(diǎn)均在曲線(xiàn)外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離等于該點(diǎn)與曲線(xiàn)上點(diǎn)的距離的最小值．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)是曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)的兩條直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且分別交曲線(xiàn)于，若四邊形的面積等于，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得的圓心和半徑，利用題目所給“到直線(xiàn)的距離等于該點(diǎn)與曲線(xiàn)上點(diǎn)的距離的最小值”列方程，化簡(jiǎn)這個(gè)方程可求得軌跡的方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)的方程求得弦長(zhǎng)的值.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得的值，利用面積公式列方程，從而求得所求直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求得直線(xiàn)方程.

（1）由已知得曲線(xiàn)是以為圓心，為半徑的圓.設(shè)，則到直線(xiàn)的距離等于，又到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，所以由已知可得，化簡(jiǎn)得， 所以曲線(xiàn)的方程為.（2）依題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，并且互為相反數(shù).設(shè)直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得，故，由弦長(zhǎng)公式得，同理.下面求直線(xiàn)夾角的正弦值.設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，則直線(xiàn)夾角為，且.所以四邊形的面積為，，解得，此時(shí)直線(xiàn)的斜率為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知.當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，斜率為，也符合題意.故，所求的直線(xiàn)方程為.