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已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+cosθ,其中x∈R,θ為參數,且0≤θ<2π,
(1)當cosθ=0時,判斷函數f(x)是否有極值;
(2)要使函數f(x)的極小值大于零,求參數θ的取值范圍;
(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數θ,函數f(x)在區(qū)間(2a-1,a)內都是增函數,求實數a的取值范圍。
解:(1)當cosθ=0時,,則f(x)在(-∞,+∞)內是增函數,故無極值。
(2)
令f′(x)=0,得
由(1),只需分下面兩種情況討論
①當cosθ>0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

因此,函數f(x)在處取得極小值
要使>0,必有
可得,由于0≤θ<2π,故;
②當cosθ<0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

因此,函數f(x)在x=0處取得極小值f(0),且,
若f(0)>0,則cosθ>0,矛盾,所以當cosθ<0時,f(x)的極小值不會大于零;
綜上,要使函數f(x)在(-∞,+∞)內的極小值大于零,參數θ的取值范圍為;
(3)由(2)知,函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)與內都是增函數,
由題設,函數f(x)在(2a-1,a)內是增函數,
則a須滿足不等式組
由(2),參數時,
要使不等式關于參數θ恒成立,必有,即;
綜上,解得a≤0或,
所以a的取值范圍是
練習冊系列答案
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