Question

已知四面體ABCD中，DC⊥BD，AB=AD=2DC=2．AD⊥平面EFGH，且AB∥截面EFGH，CD∥截面EFGH．
（Ⅰ）求證：GF∥CD，AB∥GH；
（Ⅱ）求證：GF⊥平面ABD；
（Ⅲ）設(shè)GD=x，求四棱錐D-EFGH的體積V（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的性質(zhì)證明GF∥CD，AB∥GH；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明GF⊥平面ABD；
（Ⅲ）根據(jù)四棱錐的體積公式求體積，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最大值．

解答：解：因為CD∥截面EFGH且CD?面ADC，面ADC∩面EFGH=GH，
所以GF∥CD，同理AB∥GH．
（Ⅱ）因為DC⊥BD，GF∥CD，所以AD⊥GF，
又BD∩AD=D，所以GF⊥面ABD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知GF∥CD，AB∥GH，
同（Ⅰ）的證明方法可得，AB∥EF，HE∥CD，
所以GH∥EF．HE∥GF，
所以EFGH是平行四邊形．
又GF⊥面ABD，所以GF⊥GF，
所以EFGH是矩形．
在△ABD中，

GH

AB

=

GD

AD

，所以GH=GD=x，
在△ACD中，

GF

DC

=

AG

AD

，所以GF=

2-x

2

．
所以矩形EFGH的面積S=GH•GF=x•

2-x

2

，
因為AD⊥平面EFGH，所以GD是四棱錐D-EFGH的高，
所以四棱錐D-EFGH的體積為V(x)=

1

3

GD?S=

1

3

x?x?

2-x

2

=

1

6

(-x3+2x2)，x∈(0，2)．
則V′(x)=

1

6

(-3x2+4x)，令V'（x）=0，得x=0（舍去）或x=

4

3

．
當(dāng)0＜x＜

4

3

時，V'（x）＞0，此時V（x）在（0，

4

3

）上單調(diào)遞增．
當(dāng)

4

3

＜x＜2時，V'（x）＜0，此時V（x）在（

4

3

，2）上單調(diào)遞減．
所以四棱錐D-EFGH的體積V（x）的最大值為V(

4

3

)=

1

6

(-

64

27

+2×

16

9

)=

16

81

．

點評：本題主要考查直線平行和直線與平面垂直的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題的能力．