已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=1-
2
3x+1

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(Ⅲ)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:本題(Ⅰ)通過已知指數(shù)函數(shù)的值域求出函數(shù)f(x)的值域;(Ⅱ)通過函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù);(Ⅲ)利用函數(shù)單調(diào)性的定義和已知指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,證明函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)遞增,得到標(biāo)題結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)∵3x+1∈(1,+∞),
2
3x+1
∈(0,2)

∴f(x)的值域?yàn)椋?1,1).
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
f(-x)=1-
2
3-x+1
=1-
2•3x
1+3x
=1-
2(3x+1)-2
1+3x
=-1+
2
3x+1
=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(Ⅲ)f(x)是R上的增函數(shù).
證明如下:任取x1,x2∈R且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
2
3x2+1
-
2
3x1+1
=
2(3x1-3x2)
(3x1+1)(3x2+1)

∵y=3x在R上是增函數(shù),且x1<x2
3x13x2,即3x1-3x2<0
又∵(3 x1+1)(3 x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函數(shù).
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性,本題有一定的思維難度,運(yùn)算量適中,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3×22n-1,數(shù)列{bn}滿足bn=log2an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{
1
bnbn+1
}
的前n項(xiàng)和為Tn,若t≥Tn對任意的n∈N+恒成立,求t的取值范圍.

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在△ABC中,角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a、b、c且
cosC
cosB
=
3a-c
b

(Ⅰ)求sinB
(Ⅱ)若b=4
2
,求△ABC周長的最大值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,證明:在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)至少存在ξ一點(diǎn),使得f″(ξ)=0.

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若x∈[0,2]時,函數(shù)f(x)=x2+4(log2a-1)x-3在x=2時取得最小值,則a的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},則∁U(A∪B)=(  )
A、{4,8}
B、{2,4,6,8}
C、{1,3,5,7}
D、{1,2,3,5,6,7}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+
b
x
(ab<0)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為3,則2a+b的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a>0,f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)解方程f(x)=2.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

曲線f(x)=x3+x-2在P0點(diǎn)處的切線平行于直線y=4x-3,則P0點(diǎn)的坐標(biāo)為( �。�
A、(-1,-4)
B、(0,1)
C、(1,0)
D、(1,0)或(-1,-4)

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同步練習(xí)冊答案
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