Question

用數學歸納法證明4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：用數學歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設假設當n=k時結論成立，利用此假設結合因式的配湊法，證明當n=k+1時，結論也成立即可．
解答：證明：（1）當n=1時，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除
（2）假設當n=k時，4^2k+1+3^k+2能被13整除，則當n=k+1時，
4^2（k+1）+1+3^k+3=4^2k+1•4²+3^k+2•3-4^2k+1•3+4^2k+1•3
=4^2k+1•13+3•（4^2k+1+3^k+2?）
∵4^2k+1•13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除
∴當n=k+1時也成立
由①②知，當n∈N^*時，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除
點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立