Question

13．已知O為△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則A角的值為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取AC，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)；化簡可得2$\overrightarrow{OE}$+4$\overrightarrow{OF}$=0，從而記|$\overrightarrow{OF}$|=x，則|$\overrightarrow{OE}$|=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=$\frac{2x}{cosA}$，|EH|=2xcosA，從而可得$\frac{2xcosA+\frac{2x}{cosA}}{6x}$=cosA，從而解得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
取AC，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)；
∴2$\overrightarrow{OE}$+4$\overrightarrow{OF}$=0，
記|$\overrightarrow{OF}$|=x，則|$\overrightarrow{OE}$|=2x，
|AB|=6x，|AE|=|EC|=$\frac{2x}{cosA}$，|EH|=2xcosA，
故$\frac{2xcosA+\frac{2x}{cosA}}{6x}$=cosA，
即$\frac{1}{cosA}$=2cosA，
解得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
故A=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的化簡運(yùn)算及解三角形的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．