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17.已知兩個不相等的非零向量a,,兩組向量x1x2,x3,x4x5y1,y2,y3,y4y5均由2個a和3個排列而成,記S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是②④(寫出所有正確命題的編號).
①S有5個不同的值;
②若a,則Smin與|a|無關(guān);
③若a,則Smin與||無關(guān);
④若||>4|a|,則Smin>0.

分析 寫出S的所有可能組合,計算它們的值,結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

解答 解:S共有三種組合方式,分別記作S1,S2,S3
則S1=aa+aa+++=2a2+32,
S2=a+a++a+a=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2
S3=aa+a+a+\overrightarrow•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2{\overrightarrow}^{2}
當(dāng)a時,Smin=S2=2,
當(dāng)a時,\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|a|||或-|a|||.
當(dāng)||>4|a|時,-4a2a<4a2,2>16a2
∴S2>0,S3>0,又S1>0,
∴Smin>0.
綜上可得②④正確,①③錯誤.
故答案為:②④.

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,組合數(shù)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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