Question

5．已知橢圓E的中心在坐標原點，且拋物線x²=-4$\sqrt{5}$y的焦點是橢圓E的一個焦點，以橢圓E的長軸的兩個端點及短軸的一個端點為頂點的三角形的面積為6．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若斜率為$\frac{3}{2}$的直線l與橢圓E交于不同的兩點A、B，又點C（$\frac{4}{3}$，2），求△ABC面積最大時對應的直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線方程求得焦點坐標，求得c，由三角形的面積公式可知$\frac{1}{2}×2a×b=6$，根據橢圓的性質，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）求得直線方程，并將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得求得x₁+x₂及x₁•x₂，由弦長公式求得丨AB丨，根據點到直線的距離公式，求得d，根據三角形的面公式及基本不等式的性質即可求得m的值，求得直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由拋物線${x^2}=-4\sqrt{5}y$的焦點是橢圓E的一個焦點得：$c=\sqrt{5}$，
由橢圓的性質可知：a²=b²+c²，
∴5=a²-b²，$\frac{1}{2}×2a×b=6$，即ab=6，
∴a²b²=36，即（b²+5）b²=36，
（b²+9）（b²-4）=0，b²=4a²=9，
∴橢圓$E：\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$…（4分）
（Ⅱ）設$l：y=\frac{3}{2}x+m$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與$E：\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$，聯立得：9x²+6mx+2m²-18=0，
△=36m²-36（2m²-18）＞0，可知：m²＜18，
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{3}m，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-18}}{9}$，…（6分），
$|{AB}|=\sqrt{（1+\frac{9}{4}）[\frac{{4{m^2}}}{9}-\frac{{8（{m^2}-9）}}{9}]}=\sqrt{\frac{13}{4}（-\frac{{4{m^2}}}{9}+\frac{72}{9}）}=\sqrt{\frac{13}{9}（-{m^2}+18）}$$C（\frac{4}{3}，2）$，
到$l：y=\frac{3}{2}x+m$的距離$d=\frac{{|{2-2+m}|}}{{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{13}}}$，
$S=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{3}\sqrt{（-{m^2}+18）{m^2}}=\frac{1}{3}\sqrt{-{m^4}+18{m^2}}$…（10分）
當m²=9即m=±3時，S最大，對應的直線l的方程為$y=\frac{3}{2}x±3$…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，三角形面積公式及基本不等式的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．