(本題滿分18分) 本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.

(文)對于數(shù)列,從中選取若干項,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后,打算研究首項為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項,第三項和第五項.

(1) 若成等比數(shù)列,求的值;

(2) 在, 的無窮等差數(shù)列中,是否存在無窮子數(shù)列,使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列的通項公式并證明;若不存在,說明理由;

(3) 他在研究過程中猜想了一個命題:“對于首項為正整數(shù),公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù)  列,總可以找到一個子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是,他在數(shù)列中任取三項,由的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論?

 

【答案】

(1)d=0(2)存在bn=4n-1為符合條件的一個子數(shù)列,因為bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1項(3)通過計算可以得到>,從而原命題為假命題

【解析】

試題分析:(1)由a32=a1a5,                                               ……2分

即(a1+2d)2=a1(a1+4d),得d=0.                                            ……4分

(2) an=1+3(n-1),如bn=4n-1便為符合條件的一個子數(shù)列.                      ……7分

因為bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,                      ……9分

這里M=+3+…+3n-2為正整數(shù),

所以,bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1項,得證.                   ……11分

(注:bn的通項公式不唯一)

(3) 該命題為假命題.                                                 ……12分

由已知可得,

因此,,又,

,        ……15分

由于是正整數(shù),且,則,

是滿足的正整數(shù),則,

,

所以,> ,從而原命題為假命題.                                ……18分

考點:本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列是綜合運算,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運算求解以及推理論證的能力.

點評:等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考中?嫉膬煞N特殊數(shù)列,它們的判定和通項公式、前n項和公式的應(yīng)用要熟練掌握,靈活應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)

若數(shù)列滿足:是常數(shù)),則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列,且定義方程為數(shù)列的特征方程,方程的根稱為特征根; 數(shù)列的通項公式均可用特征根求得:

①若方程有兩相異實根,則數(shù)列通項可以寫成,(其中是待定常數(shù));

②若方程有兩相同實根,則數(shù)列通項可以寫成,(其中是待定常數(shù));

再利用可求得,進(jìn)而求得

根據(jù)上述結(jié)論求下列問題:

(1)當(dāng),)時,求數(shù)列的通項公式;

(2)當(dāng),)時,求數(shù)列的通項公式;

(3)當(dāng),)時,記,若能被數(shù)整除,求所有滿足條件的正整數(shù)的取值集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆上海市盧灣區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分.
已知負(fù)數(shù)和正數(shù),且對任意的正整數(shù)n,當(dāng)≥0時, 有[, ]=
[, ];當(dāng)<0時, 有[, ]= [, ].
(1)求證數(shù)列{}是等比數(shù)列;
(2)若,求證
(3)是否存在,使得數(shù)列為常數(shù)數(shù)列?請說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分18分)已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準(zhǔn)線的距離等于5.

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

(Ⅱ)如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

(Ⅲ)過AB分別作拋物C的切線交于點M,求面積之和的最小值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年上海市青浦區(qū)高三上學(xué)期期終學(xué)習(xí)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本題滿分18分) 本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.

設(shè),對于項數(shù)為的有窮數(shù)列,令中最大值,稱數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列3,5,4,7的創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,7.

考查自然數(shù)的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數(shù)列

(1)若,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,4的所有數(shù)列;

(2)是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列;若不存在,請說明理由.

(3)是否存在數(shù)列,使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出滿足所有條件的數(shù)列的個數(shù);若不存在,請說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型:解答題

(本題滿分18分,其中第1小題6分,第2小題6分,第3小題6分)
已知數(shù)列的首項為1,前項和為,且滿足.?dāng)?shù)列滿足.
(1) 求數(shù)列的通項公式;
(2) 當(dāng)時,試比較的大小,并說明理由;
(3) 試判斷:當(dāng)時,向量是否可能恰為直線的方向向量?請說明你的理由.

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