Question

7．已知函數(shù)f（x）=（e^x+1）（ax+2a-2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）-2＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 由題意分離出a可得存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，由函數(shù)的單調(diào)性求出右邊式子的最大值可得．

解答 解：由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e^x+1）（ax+2a-2）-2＜0成立，
故可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e^x+1）（ax+2a-2）＜2成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a（x+2）＜2+$\frac{2}{2+{e}^{x}}$成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，
又可得函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$在x∈（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=$\frac{4}{3}$，∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{4}{3}$）
故選：D．

點評 本題以特稱命題為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬中檔題．