如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱BC,DC上的動(dòng)點(diǎn),且BE=CF.
(1)求證:B1F⊥D1E;
(2)當(dāng)三棱錐C1-FCE的體積取到最大值時(shí),求二面角C1-FE-C的正切值.
分析:(1)因?yàn)槭钦襟w,又是空間垂直問題,所以易采用向量法,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,欲證B1F⊥D1E,只須證
D1E
B1F
=0
再用向量數(shù)量積公式求解即可.
(2)由題意可得:當(dāng)三棱錐C1-FCE的體積取到最大值時(shí),即其底面積△FEC最大,可得點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)時(shí)取最大值,再根據(jù)線面關(guān)系得到∠C1OC為二面角C1-FE-C的平面角,進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可.
解答:解:(1)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示:
設(shè)BE=CF=b,
則D1(0,0,a),E(a-b,a,0),F(xiàn)(0,a-b,0),B1(a,a,a),
所以
D1E
=(a-b, a,-a)
,
B1F
=(-a, -b,-a)
,
所以 
D1E
B1F
=0
,
所以B1F⊥D1E.
(2)由題意可得:當(dāng)三棱錐C1-FCE的體積取到最大值時(shí),即其底面積△FEC最大,即S△FEC=
1
2
b(a-b)最大,
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:當(dāng)b=
a
2
時(shí),其底面積取最大值,即點(diǎn)E、F分別是
BC、CD的中點(diǎn),
所以C1F=C1E,CE=CF.
取EF的中點(diǎn)為O,連接C1O,CO,
所以C1O⊥EF,CO⊥EF,
所以∠C1OC為二面角C1-FE-C的平面角.
在△C1OC中,C1C=a,CO=
2
a
4
,所以tan∠C1OC=2
2

所以二面角C1-FE-C的正切值為2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量證明線線的垂直關(guān)系,以及考查幾何體的體積與二面角的平面角等問題,也可以利用向量的方法解決二面角的問題,次方法比較方便靈活,是?碱愋,屬中檔題.
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如圖,在棱長(zhǎng)為2的正四面體A-BCD中,若以△ABC為視角正面,則其正視圖的面積是( )

A.
B.
C.
D.

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