Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上單調遞增, 求的取值范圍；

（Ⅲ）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）當時，函數(shù)無零點，當或時，函數(shù)有一個零點，當時，函數(shù)有兩個零點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得，即可解得，注意檢驗；（Ⅱ）由條件可得，在區(qū)間上恒成立，運用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到的范圍；（Ⅲ）令，求出導數(shù)，求出單調區(qū)間和最值，即可得到零點的個數(shù).

試題解析：（Ⅰ）因為，

由已知在處取得極值，所以.

解得，經(jīng)檢驗時，在處取得極小值.所以.…3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因為在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上恒成立.

即在區(qū)間上恒成立. 所以.

（III）因為，所以，.

令得， 令，.

.

當時，，在上單調遞增，

時，，在上單調遞減.

所以.

綜上：當時，函數(shù)無零點，

當或時，函數(shù)有一個零點，

當時，函數(shù)有兩個零點.