Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a•2ⁿ-3（a為常數(shù)）．
（1）求a及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系即可求a及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=n•a_n，利用錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a-3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a•2ⁿ-3-a•2^n-1+3=a•2ⁿ-a•2^n-1=a•2^n-1，
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a-3滿足a_n=a•2^n-1，
即2a-3=a•2^1-1=a，
得a=3，此時(shí)a_n=3•2^n-1．
（2）∵b_n=n•a_n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足，
${T_n}=3×{2^0}+6×{2^1}+9×{2^2}+…+3n×{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=3×{2^1}+6×{2^2}+9×{2^3}+…+3n×{2^n}$，②
兩式相減得②-①得T_n=-3-3•2¹-3•2²-3•2³-…-3•2^n-1+3n•2ⁿ=$\frac{-3（1-{2}^{n}）}{1-2}$+3n•2ⁿ=3n•2ⁿ-3•2ⁿ+3=3（n-1）•2ⁿ+3．
即${T_n}=3（n-1）{2^n}+3$．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系以及利用錯位相減法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．