Question

設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足 

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0.

．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若?p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：本題（1）根據(jù)條件a=1化簡命題p、q，利用p∧q為真得到命題p、q均為真，從而求出x的取值范圍，得到本題結論；（2）根據(jù)條件?p是?q的充分不必要條件，得到命題p、q的邏輯關系，從而得到參數(shù)a的關系式，解不等式，求出a的取值范圍，得到本題結論．

解答： 解：（1）當a=1時，
∵命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，
∴x²-4x+3＜0，
∴1＜x＜3．
∵命題q：實數(shù)x滿足 

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0.

．
∴

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

，
∴2＜x≤3．
∵p∧q為真，
∴2＜x＜3．
故實數(shù)x的取值范圍為（2，3）．
（2）∵￢p是￢q的充分不必要條件，
∴￢p⇒￢q，即q⇒p．
∵命題q：x滿足2＜x≤3，
命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴記f（x）=x²-4ax+3a²，

f(2)≤0 f(3)＜0

，
∴

3a2-8a+4≤0 3a2-12a+9＜0

，
∴

3 2 ≤a≤3 1＜a＜3

，
∴

3

2

≤a＜3．
∴實數(shù)a的取值范圍[

3

2

，3）．

點評：本題考查的是不等式的解法、命題、充要條件，本題難度不大，但有一定的計算量，屬于中檔題．